В работе рассматривается построение алгоритма моделирования и визуализации процесса роста кристаллов в расплавах твердых сплавов. Приведены результаты компьютерной реализации алгоритма.

Постановка проблемы:

Моделирование физических процессов является в большинстве случаях единственно возможным способом наблюдения за ходом протекания эксперимента, так как часто условия проведения эксперимента исключают возможность использования стандартных оптических приборов, что делает невозможным фиксацию определенных параметров. Изучение опытным путем влияния отдельных параметров на результат процесса может занимать большое количество времени. Актуальность решения данной проблемы заключается в снижении финансовых и временных затрат при проведении экспериментов.

Анализ достижений и публикаций:

Несмотря на то, что решение данной задачи позволит сократить этап предварительных исследований перед практической постановкой эксперимента, оно на данный момент не найдено. Обзор литературы показывает, что в последние десятилетия данная задача решалась с использованием термодинамического аппарата без превлечения вычислительных средств. В зарубежной литературе появились работы, использующие современные программные и аппаратные вычислительные возможности. В разработках сделан упор на моделирование простейших физических взаимодействий. Но таких работ не много, и решаемые в них задачи сформулированы в основном для получения энергетических, а не геометрических параметров системы. [1,2]. Поэтому целесообразно применить аппарат геометрического моделирования, что позволит положить в основу модели подход, учитывающий изменение геометрии кристаллов.

Постановка задачи:

Свойства гибкости, прочности, износостойкости продукции напрямую зависят от формы, взаимного положения, размера кристаллов и их количества. Вследствие этого возникает задача разработки алгоритма моделирования и визуализации процесса кристаллизации в расплавах, выявления основных закономерностей взаимодействия кристаллов между собой, построения границы между ними. Решение этой задачи в трехмерном пространстве позволит получить модель поверхности образца, в двухмерном пространстве – изображение, соответствующее плоскому срезу образца, то есть сечению его произвольной плоскостью. Таким образом, станет возможно сравнение программно построенного изображения с фотографиями поверхности и сечения.

Трехмерная модель процесса кристаллизации.

Нами предлагается поставить в соответствие каждому кристаллу набор параметров. Физические особенности учитываются посредством введения в модель показателей скорости роста кристалла, изменения температуры среды и представительного объема. Геометрические особенности задаются формой зародышей кристалла для различных материалов. Это позволит проанализировать процесс кристаллизации при различных соотношениях входящих в смесь компонентов, а так же позволит проверить адекватность построенной модели при соотнесении ее с опытными образцами.

Зародыши кристаллов в твердых сплавах имеют форму многогранников [3], характеризующихся следующими геометрическими параметрами:

• куб: длина стороны, координаты центра фигуры, критический размер (условная величина, обозначающая минимальный размер частицы, способной к росту);
• призма: длина стороны треугольника в основании, высота призмы, центр фигуры (центр масс), критический размер;
• пластина: длина, ширина, высота пластины, критический размер (используются редко);
• игла: длина, размер (используются редко).

Критический размер для каждого кристалла рассчитывается в зависимости от площади его поверхности.

Все кристаллы имеют идеальную форму только в том случае, когда в процессе роста они не соприкасаются. Если же происходит взаимодействие, то кристаллы деформируются за счет того, что на границе соприкосновения рост прекращается.

Будем рассматривать самопроизвольное зарождение центров кристаллизации и рост кристаллов согласно [4].

На основании этой физической модели построим геометрическую модель процесса формирования границы при росте кристаллов. Границей между кристаллами будем называть совокупность фрагментов граней кристаллов, принадлежащих двум или более объектам. Каждая грань кристалла растет по направлению нормали к своей поверхности. Модель строится в декартовой прямоугольной системе координат.

Описывать объекты можно с помощью граничного представления. Это представление использует описание ограничивающей поверхности для определения сплошного тела. Поверхность кристалла произвольной формы описывается набором граней. Каждая грань должна иметь компактное математическое представление. В нашем случае целесообразно описывать всю грань в целом, как полигон, имеющий n вершин и n отрезков, соединяющих эти вершины. Одним из способов ускорения обработки структуры, хранящей данные об объекте, является упорядочивание вершин грани (например, перечисление вершин грани по часовой стрелке).

Генерировать начальное положение объектов можно случайным образом, используя соответствующие числовые ограничения скорости зарождения и критического размера кристаллов [4]. Практическая реализация возможна с помощью команд генерации случайных чисел с последующим произвольным поворотом вокруг оси [5].

Рост объекта реализуется масштабированием. Масштабирование происходит пошагово, поэтому после каждого шага необходимо проверить взаимное расположение объектов. Размер шага выбираем кратным размеру атома. Проверку следует производить попарно для всех ребер и граней. Если после увеличения объекты имеют общие точки, то необходимо провести дополнительный анализ, т.е. вычислить точку соприкосновения граней, удалить ее из структуры, описывающей грань, и добавить ее в структуру, содержащую описание границы. В случае если после увеличения объекты не имеют общих точек, то дополнительный анализ не требуется.

В ряде случаев достаточно рассмотреть взаимодействие объектов на плоскости. Корректность такой модели проверяется путем сравнения программно построенного изображения с фотографиями срезов образцов с использованием принятых статистических методик. Однако особенности их применения в рамках данной задачи являются темой отдельных исследований.

Двумерная модель процесса.

Рассмотрим взаимодействие объектов на плоскости. На рис. 1 показан общий случай построения границы для двух произвольно расположенных кристаллов. В этом случае рассматривается взаимодействие многоугольников, которые могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми, однако без самопересечений.

Рис. 1. Формирование общей границы двух произвольно ориентированных кристаллов

Алгоритм роста кристаллов приведен на рисунке 2. Дадим некоторые пояснения. Объем жидкой фазы уменьшается с увеличением объема кристаллов. Увеличение кристаллов соответственно скоростям рассчитывается с помощью умножения координат отрезков на матрицу масштабирования с различным масштабом по осям абсцисс и ординат.

Пересечение между кристаллами устанавливается следующим образом: проверяем каждую вершину одного многоугольника на принадлежность другому многоугольнику. Принадлежность определяется с помощью подсчёта количества пересечений луча, исходящего из данной вершины одного многоугольника в направлении любой из осей, со сторонами второго многоугольника. Если оно чётное, вершина не принадлежит многоугольнику. Если пересечение существует, то для уточнения координат точки касания возвращаемся на шаг назад, уменьшаем длину шага в два раза и повторяем итерацию.

If intersection exists we should return to previous step for find more accurate value of intersection point. That is why we set size of step half as much and repeat iteration.

Наличие точки касания определяем с погрешностью, равной размеру атома.

Если точка касания найдена, то фиксируем ее в неподвижном состоянии, длины пересекающихся отрезков уменьшаем на размер атома, восстанавливаем прежнее значение длины шага и повторяем итерацию. Итерации прекращаются, как только объем жидкого вещества станет равным нулю.

Для построения трехмерной модели следует проверять принадлежность вершин не многоугольникам, а трехмерным объектам. Взаимодействия между гранями можно рассматривать с помощью уравнений плоскостей, которым принадлежат грани.

Компьютерное моделирование процесса.

К настоящему моменту программно реализован алгоритм роста кристаллов в двухмерном пространстве. Размер кристаллов и их положение генерируется случайным образом. На рис. 3 приведен пример построения общей границы между кристаллами в случае, когда кристаллы ориентированы одинаково (рис. 3а) и в случае, когда их ориентация задается произвольно (рис. 3б). Полученные результаты соответствуют визуальным схемам кристаллизации при заданных условиях [6].

Рис. 3 Взаимодействие кристаллов

Выводы.

Рассмотрено построение геометрической модели роста кристаллов в расплавах. На данный момент реализован алгоритм взаимодействия между объектами в двухмерном пространстве, позволяющий генерировать визуальные схемы кристаллизации. Задачей ближайших исследований является построение и практическая реализация модели для пространственного случая, с добавлением возможности построения сечений образца произвольными плоскостями, что даст возможность проверки соответствия построенной модели опытным образцам.

Literature

• http://my-soft-blog.net/programma-ot-mit-media-lab
• http://my-soft-blog.net/phun-multyashnaya-fizika
• Шаскольская М.П. Кристаллография. Учебник для втузов. – М.: «Высшая школа», 1976. – 391 с.
• Арзамасов Б.Н., Крашенинников А.И. Научные основы материаловедения. – М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 1994. – 366 с.
• Херн Бейкер. Компьютерная графика и стандарт OpenGL, 3-е издание. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 1168 с.
• Лившиц Б.Г. Металлография. – М.: Металлургия, 1990. – 236 с.